Walking on Kendall’s Shape Space: Understanding Shape Spaces and Their Coordinate Systems - Kendall’s Shape Space

 

要想了解特定數量地標的所有可能形狀，我們可以建立一個所謂的形狀空間。在這個空間裡，每個點都代表一種特定的形狀，點之間的距離則表示這些形狀之間的差異大小。不管我們用的是部分還是完整Procrustes距離來衡量，結果都是一個彎曲的多維空間，所以形狀空間相當複雜。

線性空間 vs 非線性空間

線性空間（比如歐幾里得空間）中，維度對應於

1) 我們需要多少坐標才能確定空間中的一個點，或者

2) 點在空間中可以朝多少個垂直方向移動。

非線性空間

比如說圓形，這可能是最簡單的非線性空間，我們來問問它有幾個維度。一開始可能會認為，因為圓形嵌入在平面中，有x和y坐標，看起來像是有兩個維度。但實際上，x和y坐標之間有很強的關聯性（距離中心的平方偏差總是加起來等於圓的半徑平方），而且圓上的每一點只能沿著一個方向滑動（沿著圓周，而不是徑向）。而且，只需要給出一個角度，就足以確定圓上一點的位置（比如說，3點鐘的位置）。所以，從這個角度看，圓實際上只有一個維度。同樣地，球面有兩個維度（只需要經度和緯度就能確定地球上的一個點）。

三角形的形狀空間

在這種情況下，形狀空間是二維的：有三個地標，每個地標有兩個坐標，但我們需要減去四個維度，因為標準化大小、位置和方向會失去這些自由度，所以最後剩下兩個維度。

假設有一大批各種形狀的三角形，使用普氏叠加（Procrustes superimposition）去除非形狀幾何特徵後，我們能夠計算出不同三角形形狀間的成對距離 (pairwise distance)，並將這些距離 (普氏距離) 記錄在一個表格中。

接著可以用主坐標分析（principal coordinate analysis）或等效的度量多維擴展（metric multidimensional scaling），可以把所有可能形狀 (每一個點代表一個形狀) 投影到半徑為0.5的球面上，這個球面就是所謂的肯德爾形狀空間（Kendall's shape space）。

補充：主座標分析的缺點

(看不懂XD)

專有名詞

主座標分析 (principal coordinate analysis)