Walking on Kendall’s Shape Space: Understanding Shape Spaces and Their Coordinate Systems

Procrustes Distance

衡量地標配置之間形狀差異，最直觀的方法就是計算它們重合後對應地標之間距離的平方和。但對應地標之間距離平方和本身不直接表示距離，要再取平方根，這個度量被稱為Procrustes距離。

不完全相同的形狀，完整Procrustes距離肯定比部分Procrustes距離小。但對於生物數據來說，這種差異通常很小。理論最大值，完整Procrustes距離可以達到1.0，而部分Procrustes距離可以達到2的平方根，大約是1.41。

如果以三角形來看，標準化後的三角形三頂點會在一個半徑為1的圓上，因此，頂點間的距離也可以用圓弧的角度來表示。這個距離被稱為黎曼距離，最大可達π/2，約為1.57。

1. 將一個形狀（P）進行部分Procrustes重合到目標（T），兩組地標配置都縮放到重心大小 1.0，這意味著這兩點都距離坐標系原點（O）為1.0

2. 部分Procrustes距離和黎曼距離ϱ之間的關係可以通過兩個直角三角形O-T-M和O-P-M建立，其中M是P和T之間的中點。

3. 這兩個三角形頂點O處的角度為ϱ/2。

4. 因為O與P和T的距離都為1.0，所以T-M和P-M的距離都是sin(ϱ/2)，所以，P和T之間的部分Procrustes距離為2sin(ϱ/2)。

至於完整Procrustes重合，形狀縮放使得從形狀進行擬合到目標的線（F-T）與到原點的線（F-O）成直角。考慮直角三角形O-F-T，可以得出完整Procrustes距離是sin(ϱ)。