Walking on Kendall’s Shape Space: Understanding Shape Spaces and Their Coordinate Systems - Shape Distances and Shape Spaces

 Shape Distances and Shape Spaces 形狀距離與形狀空間

什麼是形狀？

形狀的定義是大小(size)、位置(position)和方向(orientation)以外的所有幾合特徵，包括難以量化的比例、角度和部件的相對位置等。

形狀距離和形狀空間必須只包含屬於形狀的那些方面。如果兩個配置僅在大小、位置和方向上有差異，它們的形狀距離應該是零，因為它們的形狀是相同的。所以，在形狀空間中，這兩個配置會落在同一點上。

形狀空間的維度？

一般來說，空間的維度取決於一個形狀能被多少參數調整。

如果是2D的數據，每個地標有兩個座標(x, y)，所以k個地標會有2k個座標變數可以調。但是形狀的參數還要扣掉大小、位置跟方向的參數，其中大小有一個、位置有兩個、旋轉有一個，也就是說維度會是2k-4維。

如果是3D的數據，每個地標會有三個座標 (x, y, z) ，所以k個地標會有3k個座標變數可以調。同樣也要扣掉大小變數一個、位置三個、旋轉三個，等於3k-7。

形狀距離

理論上可以定義很多不同的形狀距離，從而產生不同的形狀空間，但在實際應用中，最常用的是基於Procrustes superimposition的Procrustes距離。Procrustes superimposition專門用來區分地標配置中形狀與非形狀的變異部分。

專有名詞：
Procrustes superimposition
shape

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