Walking on Kendall’s Shape Space: Understanding Shape Spaces and Their Coordinate Systems - Procrustes Superimposition

 這個方法的核心就是通過改變一組地標配置的非形狀特徵（比如大小、位置和方向），讓它盡可能地適應另一組。有三個步驟：


Scaling 縮放

把兩組配置縮放到同一個大小 (size)，把所有配置的大小都縮放到單位重心大小，這樣比較的地標配置之間就沒有大小之差了。

Size 大小

通常是質心大小 (Centroid size) ，也就是每個地標到所有地標重心的距離平方和的平方根。

Transition 平移

把每個地標配置的重心座標重疊起來。實際操作上可以把每個地標的座標減去重心座標。

Rotation 旋轉

讓一系列地標盡可能地靠近。

以上的過程消除地標配置之間的非形狀變異，這個過程稱為Procrustes Superimposition。Procrustes Superimposition又可以分成完整跟部分兩種形式，差別只在縮放時是否縮放到相同大小：

Full Procrustes superimposition：即符合上面所說，把每個地標配置的質心大小縮放到相同大小。

Partial Procrustes superimposition：為了讓最後每一個系列地標的平方距離能越接近越好，在縮放的部分稍微調正，而不追求質心大小要完全一樣。


專有名詞

地標配置 (landmark configuration)

質心座標：所有地標座標的算術平均數

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 Procrustes Distance 衡量 地標配置之間形狀差異，最直觀的方法就是計算它們重合後對應地標之間距離的平方和。但對應地標之間距離平方和本身不直接表示距離，要再取平方根，這個度量被稱為 Procrustes距離。 完整Procrustes距離（dF）vs 部分Procrustes距離（dP） 不完全相同的形狀，完整Procrustes距離肯定比部分Procrustes距離小。 但對於生物數據來說，這種差異通常很小。理論最大值， 完整Procrustes距離可以達到1.0，而部分Procrustes距離可以達到2的平方根，大約是1.41。 黎曼距離 如果以三角形來看，標準化後的三角形三頂點會在一個半徑為1的圓上，因此，頂點間的距離也可以用圓弧的角度來表示。這個距離被稱為黎曼距離，最大可達 π/2，約為1.57。 1. 將一個形狀（P）進行部分Procrustes重合到目標（T），兩組地標配置都縮放到重心大小           1.0，這意味著這兩點都距離坐標系原點（O）為1.0 2. 部分Procrustes距離和黎曼距離ϱ之間的關係可以通過兩個直角三角形O-T-M和O-P-M建                立 ，其中M是P和T之間的中點。 3. 這兩個三角形頂點O處的角度為ϱ/2。 4. 因為O與P和T的距離都為1.0，所以T-M和P-M的距離都是sin(ϱ/2)，所以， P和T之間的部分Procrustes距離為2sin(ϱ/2)。 至於 完整Procrustes重合，形狀縮放使得從形狀進行擬合到目標的線（F-T）與到原點的線（F-O）成直角。考慮直角三角形O-F-T，可以得出完整Procrustes距離是sin(ϱ)。
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